Question

【题目】设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是

Answer 1

【答案】4
【解析】解：若[t]=1，则t∈[1，2），
若[t2]=2，则t∈[ ， ）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），
若[t3]=3，则t∈[ ， ），
若[t4]=4，则t∈[ ， ），
若[t5]=5，则t∈[ ， ），
其中 ≈1.732， ≈1.587， ≈1.495， ≈1.431＜1.495，
通过上述可以发现，当t=4时，
可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[ ， ）∩[ ， ）∩[ ， ）上，
但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[ ， ）∩[ ， ）∩[ ， ）∩[ ， ）上，
∴正整数n的最大值4，
所以答案是：4．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．