Question

【题目】已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ，则f'（1）=2+1=3． 故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ） ．
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得 ．
在区间 上，f'（x）＞0，在区间 上f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max ，
因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，
所以g（x）max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣ ）=﹣1+ln（﹣ ）=﹣1﹣ln（﹣a），
所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣
【解析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max ， 分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．