Question

【题目】若函数f（x）=x3﹣ x2+bx+c在x=1时取得极值，且当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立．
（1）求实数b的值；
（2）求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3﹣ x2+bx+c，

∴f′（x）=3x2﹣x+b，

∵x=1是方程3x2﹣x+b=0的一个根，

设另一个根是x0，则 ，

∴x0=﹣ ，b=﹣2

（2）解：由（1）知，f（x）=x3﹣ x2﹣2x+c，

∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），

令f′（x）=0，解得x1=﹣ ，x2=1；

列表如下：

x	[﹣1，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	单调递增	极大值 +c	单调递减	极小值	单调递增

由表格知，f（x）取得极大值f（﹣ ）= +c，

又f（2）=2+c，

∴当x=2时，函数取得最大值f（x）max=2+c；

∴2+c＜c2，

解得c＜﹣1或c＞2，

∴c的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

【解析】（1）求出f（x）的导数f′（x），由函数的零点以及根与系数的关系求出b的值；（2）利用导数求出f（x）在闭区间[﹣1，2]上的最大值f（x）max ， 令其小于c2 ， 求出c的取值范围．
【考点精析】利用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．