【题目】某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字
(1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量x的分布列；
(3)若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率
【答案】（Ⅰ）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件
，…………………（1分）
则
,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为
．…………（3分）
（Ⅱ）随机变量
的所有可能取值为2，3， 4，5，……………………………（4分）
相应的概率为：
，
，
，
，………………………………………（6分）
∴随机变量的分布列为：
X | 2 | 3 | 4 | 5 |
P |
|
|
|
|
从而
.……………………………（8分）
（Ⅲ）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量的取值应为4或5，…………………………………（10分）
故所求概率为
【解析】试题分析：
（1）数字相同的卡片分别捆绑起来作为一个共5类，可从5类中选3灰，有
种选法，然后每类2个中任取1个各有
种选法，总选法为
，由概率公式可计算出结果；
（2）3张卡最大数字的可能值分别为
，分别计算出概率可得分布列；
（3）计分超过30分，的值只能是4或5，因此概率为
．
试题解析：
（1）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件
，
则
,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为
．
（2）随机变量
的所有可能取值为2，3， 4，5，
相应的概率为：
，
，
，
，
随机变量的分布列为：
| 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
从而
（3）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量的取值应为4或5，
故所求概率为
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【题目】2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与
的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与
的数据如表：
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
车流量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
（1）由散点图知
与
具有线性相关关系，求
关于
的线性回归方程；
（2）（i）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时
的浓度；
（ii）规定：当一天内
的浓度平均值在
内，空气质量等级为优；当一天内
的浓度平均值在
内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）
参考公式：回归直线的方程是
，其中
， 
.
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【题目】在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
．
（1）求曲线
的直角坐标方程并指出其形状；
（2）设
是曲线
上的动点，求
的取值范围．
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【题目】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：
（1）选其中5人排成一排
（2）全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾
（3）全体排成一排，男生互不相邻
（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人
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【题目】如图，直线
与反比例函数
的图象交于B、C两点，B（2，m）且m＜2，正方形ABCD的顶点A、D在坐标轴上。
⑴ 求
， 
的值；
⑵ 直接写出
时， 
的取值范围。
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【题目】如图，四棱锥
的底面为菱形 且∠ABC＝120°，PA⊥底面ABCD，AB＝2，PA＝
，
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥P--BDC的体积。
（3）在线段PC上是否存在一点E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由。
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【题目】上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在
段各不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为
，求
的分布列和期望.
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