Question

已知椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为F₁、F₂，若F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆相交于A、B两点．与抛物线相交于C、D两点，当l与x轴垂直时，|CD|=2

2

|AB|．
（1）求椭圆的方程；
（2）若

F2A

•

F2B

=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由与抛物线相交于C、D两点得到CD的长度，由抛物线、椭圆都关于x轴对称，且l⊥x轴，得到A点坐标得到Aa，b关系，结合a，b，c三者关系可求b²=1，a²=2；
（2）分①当AB垂直于x轴时②若AB与x轴不垂直，结合根与系数的关系得到k值．

解答： 解：（1）由已知，得抛物线y²=-4x的焦点F₁（-1，0），设椭圆的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由

y2=-4x x=-1

得C（-1，2），D（-1，-2），|CD|=4，由抛物线、椭圆都关于x轴对称，且l⊥x轴，知

|F1C|

|F1A|

=

|CD|

|AB|

=2

2

，
∴|F₁A|=

2

2

，∴A（1，

2

2

），∴

1

a2

+

1

2b2

=1，
又a²-b²=c²=1，解得b²=1，a²=2，故椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）点F₁（-1，0），F₂（1，0），①当AB垂直于x轴时，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)
∴

F2A

=（-2，

2

2

），

F2B

=（-2，-

2

2

），所以

F1A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

，不符合条件．
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2(k2-1)

1+2k2

∵

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)

=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2 =(1+k2) 2(k2-1) 1+2k2 +(k2-1)(- 4k2 1+2k2 )+1+k2 = 7k2-1 1+2k2

由

F2A

•

F2B

=0，得k=±

7

7

，
故l的方程为y=±

7

7

(x+1)．

点评：本题考查了椭圆的方程求法以及直线与椭圆的位置关系，关键由

F2A

•

F2B

=0结合一元二次方程根与系数的关系得到k值．