Question

19．已知函数$f（x）=\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，其中a＞0且a≠1．
（1）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）-4的值恒为负，只要f（2）-4≤0，即 $\frac{{a}^{2}+1}{a}$≤4，由此求得a的范围；
（2）由题意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由于函数f（x）在（-∞，2）上单调递增，要使f（x）-4的值恒为负，
只要f（2）-4≤0，即 $\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）-4≤0，即$\frac{{a}^{2}+1}{a}$≤4，
解得 2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$，且a≠1，即a的范围[2-$\sqrt{3}$，1）、（1，2+$\sqrt{3}$]．
（2）由于函数y=f（x）的定义域为（-1，1），
故由不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-m＜1}\\{-1＜1{-m}^{2}＜1}\\{1-m{＜m}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得 1＜m＜$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．