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已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+m(m∈R)的图象过点M(
π
12
,0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后向左平移
π
2
个单位,得函数g(x)的图象,若a、b、c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,a+c=4,且当x=B时,g(x)取得最大值,求b的取值范围.
分析:(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,将M坐标代入f(x)计算求出m的值,确定出f(x)的解析式,根据正弦函数的单调性即可确定出函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)由函数f(x)的图象各点纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,然后向左平移
π
2
个单位,确定出g(x)解析式,由x=B时,g(x)取得最大值,求出B的度数,得到cosB的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,利用基本不等式化简后把a+c的值代入求出b的范围即可.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(1+cos2x)+m=sin(2x-
π
6
)+m-
1
2

∵点M(
π
12
,0)在函数f(x)的图象上,
∴sin(2×
π
12
-
π
6
)+m-
1
2
=0,
解得:m=
1
2

∴f(x)=sin(2x-
π
6
),
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈Z,
则函数 f(x)的单调增区间为[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
](k∈Z);
(Ⅱ)g(x)=sin(x+
π
2
-
π
3
)=sin(x+
π
6
),
∵当x=B时,g(x)取得最大值,
∴B+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z,
∴B=
π
3

由余弦定理可知 b2=a2+c2-2accos
π
3
=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥16-3(
a+c
2
2=16-12=4,
∴b≥2,
又b<a+c=4.
∴b的取值范围是[2,4).
点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,余弦定理,正弦函数的增减性,以及基本不等式的应用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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3-x
+
1
x+2
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(2)若A∩B=B,求所有满足条件的m的集合.

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已知函数f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定义域为集合A,B={x|x<a}.
(1)若A⊆B,求实数a的取值范围;
(2)若全集U={x|x≤4},a=-1,求?UA及A∩(?UB).

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x
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恒成立,求实数k的取值范围.

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