Question

已知直线C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t为参数），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），
（Ⅰ）当α=

π

3

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）C₁与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，P为AB中点，求P点的轨迹的普通方程．

Answer 1

考点：圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）首先，将给定的曲线的参数方程化为普通方程，然后联立方程组，求解相应的交点坐标；
（Ⅱ）首先，将曲线C₁化为普通方程，然后，确定A点和B点坐标，然后，确定其中点坐标，消去参数，得到其普通方程．

解答： 解：（Ⅰ）当α=

π

3

时，C₁的普通方程为y=

3

（x-1），
C₂的普通方程为x²+y²=1．
联立方程组

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁与C₂的交点为（1，0），（

1

2

，-

3

2

）．
（Ⅱ）由曲线C₁得
xsinα-ycosα-sinα=0，
令y=0，得 x=1，
令x=0，得y=-tanα，
∴A（1，0），B（0，-tanα），
∴P（

1

2

，-

1

2

tanα），
∴P点的轨迹的普通方程：x=

1

2

(y∈R)．

点评：本题重点考查了常见曲线的参数方程和普通方程的互化等知识，属于中档题．