Question

（本小题满分13分）
设函数（为常数，是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

Answer 1

（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.

解析试题分析：（I）函数的定义域为，

由可得，
得到的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）分，，，时，
讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.
试题解析：（I）函数的定义域为，



由可得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，设函数，
因为，
当时，
当时，，单调递增，
故在内不存在两个极值点；
当时，
得时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以函数的最小值为，
函数在内存在两个极值点；
当且仅当，
解得，
综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.
考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.