Question

8．不等式（a-1）x²-（a-2）x+1＞0对一切实数都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 讨论a的取值，利用判别式△＜0，结合二次函数的图象与性质，即可求出不等式恒成立时a的取值范围．

解答 解：当a=1时，不等式为x+1＞0，
解得x＞-1，此时不等式对一切实数x不恒成立；
当a＞1时，判别式△＜0，即为（a-2）²-4（a-1）＜0，
解得4-2$\sqrt{2}$＜a＜4+2$\sqrt{2}$，此时不等式对一切实数x恒成立；
当a＜1时，不等式对一切实数x不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，解题时应注意运用二次函数的图象和性质，是基础题目．