Question

6．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥面PAB
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDC
（Ⅲ）求直线EC与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；
（Ⅲ）找到∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，再解三角形即可．

解答 证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连接BM，ME∥AD且$ME=\frac{1}{2}AD$，
BC∥AD且$BC=\frac{1}{2}AD$，
∴ME∥BC且 ME=BC，
∴四边形MEBC为平行四边形，…（2分）
∴平面BME∥CE，CE?面PAB，BM?面PAB，
∴CE∥面PAB…（4分）
（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DC，…（5分）
又AC²+CD²=2+2=AD²，
∴DC⊥AC，…（7分）
∵AC∩PA=A，
∴DC⊥平面PAC…（8分）
又DC?平面PDC，
所以平面PAC⊥平面PDC…（9分）
（Ⅲ）取PC中点F，则EF∥DC，
由（Ⅱ）知DC⊥平面PAC，
则EF⊥平面PAC，
所以∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，…（11分）
CF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}CD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（12分）
∴$tan∠ECF=\frac{EF}{FC}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即直线EC与平面PAC所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（13分）

点评 本题主要考查空间角，线面平行，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．