Question

18．如图，菱形ABCD的中心为O，四边形ODEF为矩形，平面ODEF⊥平面ABCD，DE=DA=DB=2．
（I）若G为DC的中点，求证：EG∥平面BCF；
（II）若$\overrightarrow{DH}$=2$\overrightarrow{HC}$，求二面角D-EH-O的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OE，OG，由条件G为中点，得四边形EFBO为平行四边形，从而EO∥FB，由此能证明EG∥平面BCF．
（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y国，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EH-O的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接OE，OG，由条件G为中点，
∴OG∥BC   又EF∥OB EF=OB，
∴四边形EFBO为平行四边形，
∴EO∥FB，平面 EOG∥平面FBC，
∴EG∥平面BCF． …（5分）
解：（Ⅱ）ABCD为菱形，∴OB⊥OC，又平面ODEF⊥平面ABCD，
四边形ODEF为矩形，∴OF⊥平面ABCD，建立如图的空间直角坐标系，…（6分）
设O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），E（-1，0，2）
F（0，0，2），H（$-\frac{1}{3}$，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{DH}=（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，0），\overrightarrow{DE}=（0，0，2）$，
设$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是面DEG的一个法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DH}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}{x_1}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{y_1}=0}\\{{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-1，0）$．…（8分）
同理取平面OEH的一个法向量是$\overrightarrow m=（2，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$，…（10分）
所以$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{{2\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{2•\sqrt{4+\frac{1}{3}+1}}}=\frac{5}{8}$，
∴二面角D-EH-O的余弦值为$\frac{5}{8}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．