Question

12．函数f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$的奇偶性和单调性如何（　　）

• A． 奇函数，且在定义域内为增函数
• B． 奇函数，且在定义域内为减函数
• C． 偶函数，且在定义域内为减函数
• D． 非奇非偶函数，且在定义域内为减函数

Answer 1

分析 先求f（x）的定义域为（-1，1），然后求f（-x）=-f（x），从而得出原函数为奇函数，然后将原函数变成$f（x）=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$，从而根据复合函数、反比例函数及对数函数的单调性即可判断原函数的单调性．

解答 解：解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；
即该函数定义域为（-1，1）；
$f（-x）=ln\frac{1+x}{1-x}=ln（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}=-ln\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$
∴该函数为奇函数；
$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}=ln[\frac{-（1+x）+2}{1+x}]$=$ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
$-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上单调递减，y=lnx为增函数；
∴根据复合函数的单调性得：原函数在（-1，1）上为减函数．
故选：B．

点评 考查解分式不等式，奇函数的定义及判断方法，分离常数法的运用，以及复合函数的单调性，反比例函数及对数函数的单调性．