Question

3．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由周期公式可求最小正周期，由2k$π-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z 可解得单调递增区间．
（2）由f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，解得C的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得C的值，由sinB=2sinA，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（3分）
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
．由2k$π-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z  得k$π-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]（k∈Z）． …（6分）
（2）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，则sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，
∴-$\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，…（8分）
∵sinB=2sinA，由正弦定理，得$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，①
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=3，②
由①②解得a=1，b=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．　　…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中档题．