Question

18．已知正项等差数列{a_n}满足a₁+a₂₀₁₄=2，则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2013}}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 2013
• D． 2014

Answer 1

分析 利用等差数列的性质结合已知求得a₂+a₂₀₁₃=2，进一步得到$\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{2013}}{2}=1$，则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2013}}$=（$\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{2013}}{2}$）（$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2013}}$），然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵数列{a_n}为等差数列，则a₂+a₂₀₁₃=a₁+a₂₀₁₄=2，
∴$\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{2013}}{2}=1$，
又a_n＞0，
则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2013}}$=（$\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{2013}}{2}$）（$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2013}}$）
=1+$\frac{{a}_{2}}{2{a}_{2013}}+\frac{{a}_{2013}}{2{a}_{2}}$$≥1+2\sqrt{\frac{{a}_{2}}{2{a}_{2013}}•\frac{{a}_{2013}}{2{a}_{2}}}=1+1=2$．
上式当且仅当a₂=a₂₀₁₃=1时取“=”．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了基本不等式求最值，是基础题．