Question

定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)求f(0)；

(2)证明对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)判断函数y=f(x)的单调性.

Answer 1

思路分析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2^x分析理清解答的思路和方法.(1)利用赋值法求f(0)；(2)只需证明当x＜0时，f(x)＞0；(3)利用定义法判断单调性.

(1)解：取a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0).

∵f(0)≠0，∴f(0)=1.

(2)证明：当x≥0时，f(x)≥1＞0成立，

当x＜0时，-x＞0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，

∴f(x)=＞0.∴x∈R时，恒有f(x)＞0.

(3)解：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0.

∴f(x₂)=f(x₂-x₁+x₁)=f(x₂-x₁)·f(x₁).

∴=f(x₂-x₁).

∵x₂-x₁＞0，∴f(x₂-x₁)＞1.

又f(x₁)＞0，f(x₂)＞0，

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)在R上是增函数.