Question

已知椭圆的方程

x2

4

+

y2

3

=1，椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，点P是其上的动点，当△PF₁F₂内切圆的面积取最大值时，内切圆圆心的坐标为

 

．

Answer 1

分析：当△PF₁F₂内切圆的面积取最大值时即内切圆半径最大即Q点的纵坐标的绝对值最大，因此利用s△ p F1F2 =s△qpF1+s△QF1F2+s△pQ F2可得|y|=

1

3

|y_p|而|y_p|≤

3

从而可求出Q点的纵坐标的绝对值的最大值，再结合此时p点的特殊位置求横坐标x

解答：解：如图设内切圆圆心的坐标为Q（x，y）
∵椭圆的方程

x2

4

+

y2

3

=1
∴a²=4，b²=3
∴c²=1，a=2，c=1，pF₁+PF₂=2a=4，F₁F₂=2C=2
又∵s△ p F1F2 =s△qpF1+s△QF1F2+s△pQ F2
∴

1

2

×F₁F₂×|y_p|=

1

2

×（pF₁+pF₂+F₁F₂）×|y|
∴|y|=

1

3

|y_p|．．
又∵|y_p|≤

3

∴|y|≤

3

3

此时p点在椭圆与y轴相交的两个顶点上故x=0同时内切圆面积为πy²≤

π

3

∴Q（

+

.

3

3

，0）
故答案为（

+

.

3

3

，0）

点评：此题主要考查了椭圆与圆的综合问题．关键是要分析出△PF₁F₂内切圆的面积取最大值时即内切圆半径最大即Q点的纵坐标的绝对值最大同时还要利用面积分割得到关系式|y|=

1

3

|y_p|再利用|y_p|≤

3

求得Q点的纵坐标的绝对值的最大值．此题另一关键是要得出当内切圆面积最大时p点落在椭圆与Y轴的交点上此时x=0．此题充分体现了数形结合思想在解题中得应用！