Question

8．已知x＞0，a为大于2x的常数．
（1）求函数y=x（a-2x）的最大值；
（2）求y=$\frac{1}{a-2x}$-x的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a＞2x，可得函数y=x（a-2x）=2•2x（a-2x），运用基本不等式，即可得到最大值；
（2）y=$\frac{1}{a-2x}$-x=$\frac{1}{a-2x}$+$\frac{a-2x}{2}$-$\frac{1}{2}$a，由基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）函数y=x（a-2x）
=2•2x（a-2x）≤2•（$\frac{2x+a-2x}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
当且仅当2x=a-2x，即x=$\frac{a}{4}$时，函数的最大值为$\frac{1}{2}$a²；
（2）y=$\frac{1}{a-2x}$-x=$\frac{1}{a-2x}$+$\frac{a-2x}{2}$-$\frac{1}{2}$a
≥2$\sqrt{\frac{1}{a-2x}•\frac{a-2x}{2}}$-$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$a．
当且仅当a-2x=$\sqrt{2}$，即x=$\frac{1}{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最小值$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$a．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．