Question

13．已知命题p；函数y=log₂|x-a|在（1，+∞）上是增函数；命题q：函数y=2${\;}^{{x}^{2}+2ax+1}$在（0，+∞）上是增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题：则a≤1；若命题q是真命题：则-a≤0，解得a≥0．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则命题p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：函数y=log₂|x-a|在（1，+∞）上是增函数，则a≤1；
命题q：函数y=2${\;}^{{x}^{2}+2ax+1}$在（0，+∞）上是增函数，则-a≤0，解得a≥0．
若“p∧q”为假，“p∨q”为真，
则命题p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤1或a＞1．
∴a的取值范围是a＞0．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．