Question

5．已知函数f（x）的定义城为R，当x＞0时，f（x）＜0，且对于任意实数x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y），f（-1）=2．
（1）求f（0）；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）判断函数的单调性并证明；
（4）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=0；
（2）令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，可得f（x）是奇函数；
（3）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可；
（4）根据f（1）=-2，则-4=f（2），即可求f（x）在[2，4]上的最值．

解答 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0；
（2）令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函数；
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是单调递减函数，
（4）x=2时，函数取得最大值f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
x=4时，函数取得最小值f（4）=f（2）+f（2）=-8．

点评 本题考点是抽象函数及其应用，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性与奇偶性，考查了利用单调性求最值．此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中寻找到证明问题的关键点出来．属于中档题．