Question

9．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则该半球的体积为．（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{32\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{64\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．

解答 解：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=$\sqrt{2}$R，
所以其体积$\frac{2}{3}{R}^{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则R³=2$\sqrt{2}$，于是球的体积为V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
则半球的体积为$\frac{1}{2}$V=$\frac{4\sqrt{2}}{3}π$．
故选：A．

点评 本题考查球的体积的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．