Question

【题目】已知数列，其前项和为，满足， ，其中， ，

， .

（1）若， ， （），求数列的前项和；

（2）若，且，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析： 根据已知条件得到，两式相减得，得到求得的值，进而得到，即可得到数列为以为首项， 为公比的等比数列，然后求得数列的前项和；

将，且代入，解得， ，猜想，用数学归纳法证明

解析：（1），所以.两式相减得.

即

所以，即，

又，所以，得

因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列. ，前n项和为

（2）当n = 2时， ，

所以. 又，可以解得，

所以， ，两式相减得

即. 猜想，下面用数学归纳法证明：

① 当n = 1或2时， ， ，猜想成立；

② 假设当（）时， 成立

则当时， 猜想成立.

由①、②可知，对任意正整数n， .

所以为常数，所以数列是等差数列.