Question

【题目】已知过点的直线与圆相交于A，B两点.

（1）若，求直线AB的方程；

（2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）或；

（2）

【解析】

由圆的方程可得圆心坐标和半径；

（1）当直线斜率不存在时可知不满足题意，由此可设方程为，利用垂径定理可构造方程求得，进而得到直线方程；

（2）由圆的性质可知，利用平面向量坐标运算可表示出所满足的方程，通过在圆内可确定的取值范围，进而得到结果.

将圆方程整理为：，则圆心，半径，

（1）若过点的直线斜率不存在，则方程为，此时直线与圆无交点，不合题意，

过点的直线斜率存在，设直线方程为，即，

则圆心到直线距离，，解得：，

直线的方程为：或.

（2）由圆的性质可知：，即.

设，则，，

，整理可得：，

由得：，

为圆的弦的中点，在圆内，即，

点的轨迹方程为.