Question

（文做）已知向量

m

=(1，1)，

k

=(1，0)，向量

n

与向量

m

的夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1，

n

与

k

不共线．
（1）求向量

n

；
（2）若△ABC中，有2B=A+C，且有向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）设

n

=(x，y)，根据已知条件即可得到关于x，y的方程组

x+y=-1 2 • x2+y2 cos 3π 4 =-1

，解出方程组得到

n

，并让

n

与

k

不共线即可；
（2）先由已知条件可求得A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

，|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

，所以需求出cos²A+cos²C范围，根据二倍角公式，C=

3π

3

-A，以及两角和与差的正余弦公式即可得到cos2A+cos2C=1+

sin( π 6 -2A)

2

，而根据A的范围可求出

π

6

-2A的范围，根据正弦函数的图象即可求出cos²A+cos²B的范围，所以最后得到|

n

+

p

|的取值范围．

解答： 解：（1）设

n

=(x，y)，则由已知条件可得：

x+y=-1 2 • x2+y2 cos 3π 4 =-1

；
∴得到

x+y=-1 x2+y2=1

，解得：

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

；
∴

n

=(-1，0)或

n

=(0，-1)；
∵

n

与

k

不共线；
∴

n

=(0，-1)；
（2）由2B=A+C得B=

π

3

；
∴A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

；

n

+

p

=(cosA，cosC)；
∴|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1+ cos2A+cos2C 2

=

1+ cos2A+cos( 4π 3 -2A) 2

=

1+ 1 2 [

sin(

π

6

-2A)]；
∵0＜A＜

2π

3

；
∴-

7π

6

＜

π

6

-2A＜

π

6

；
∴-1≤sin(

π

6

-2A)＜

1

2

；
∴

2

2

≤

1+ 1 2 [sin( π 6 -2A)]

＜

5

2

；
∴|

n

+

p

|的取值范围为[

2

2

，

5

2

)．

点评：考查数量积的计算公式及坐标运算，共线向量基本定理，二倍角的余弦公式，两角和与差的正余弦公式，以及正弦函数的最值，可利用正弦函数的图象求解．