Question

如图，已知OPQ是半径为

7

、圆心角为

π

3

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠AOC=α．
（1）当α=

π

6

时，OA、OB的长；
（2）求

OA

•

OB

的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,弧度制的应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）在Rt△OBC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得BC、OB的值，可得OA=AD•tan

π

6

=

3

3

BC的值．
（Ⅱ）由条件利用三角恒等变换化简

OA

•

AB

为

7

3

sin（2α+

π

6

）-

7

6

，再根据 0＜α＜

π

3

，利用正弦函数的定义域和值域求得它的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在Rt△OBC中，BC=

7

sin

π

6

=

7

2

，OB=

7

cos

π

6

=

21

2

．
在Rt△ODA中，∠AOD=

π

3

∠ODA=

π

6

，∴OA=AD•tan

π

6

=

3

3

BC=

21

6

，
AB=OB-OA=

21

2

-

21

6

=

21

3

．
（Ⅱ）在Rt△OBC中，BC=

7

sinα，OB=

7

cosα．
在Rt△ODA中，∴OA=DA•tan

π

6

=

3

3

BC=

21

3

sinα，
∴AB=OB-OA=

7

（cosα-

3

3

sinα），则

OA

•

AB

=OA•AB=

7

（cosα-

3

3

sinα）•

21

3

sinα
=

7 3

3

（cosα-

3

3

sinα）•sinα=

7 3

3

（sinαcosα-

3

3

sin²α ）
=

7 3

3

•[

1

2

sin2α-

3

6

（1-cos2α）]=

7 3

3

•[

1

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

]
=

7

3

sin（2α+

π

6

）-

7

6

．
∵0＜α＜

π

3

，∴

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

，故当2α+

π

6

=

π

2

时，即α=

π

6

时，

OA

•

AB

取得最大值为

7

6

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．