Question

17．已知函数f（x）=1og₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-m有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}$=-2kx，从而x=-2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）要使函数g（x）=f（x）-m有零点，转化成求函数的值域，将m分离出来得m=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，然后利用基本不等式求出m的范围即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
可知f（x）=f（-x）
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx，
即$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}$=-2kx，
∴log₄4^x=-2kx，
∴x=-2kx对x∈R恒成立，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由g（x）=f（x）-m有零点，
∴m=f（x）=1og₄（4^x+1）$-\frac{1}{2}$x，
∴m=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
∴m≥$\frac{1}{2}$，
故要使g（x）=f（x）-m有零点，m的取值范围：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及根的个数的判定和基本不等式等有关基础知识，属于中档题．