Question

16．已知函数f（x）=4x²-4ax．
（1）若f（x）＞1对任意的a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围；
（2）若对任意的x∈[0，1]，|f（x）|≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令g（a）=-4xa+4x²-1，若f（x）＞1对任意的a∈[-1，1]恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（{-1}）＞0\end{array}\right.$，解得x的取值范围；
（2）若对任意的x∈[0，1]，|f（x）|≤1，即对任意的x∈[0，1]，-1≤4x²-4ax≤1恒成立，即$4x-\frac{1}{x}≤4a≤4x+\frac{1}{x}$，解得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）令g（a）=-4xa+4x²-1，
若f（x）＞1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（{-1}）＞0\end{array}\right.$，
解的$x＜\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}或x＞\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，|f（x）|≤1，
即对任意的x∈[0，1]，-1≤4x²-4ax≤1恒成立，
即$4x-\frac{1}{x}≤4a≤4x+\frac{1}{x}$，
所以3≤4a≤4，
即$\frac{3}{4}≤a≤1$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．