Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分别是CC₁，BC的中点．
（1）求证：平面AB₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB₁C₁C，从而AF⊥B₁F，由勾股定理得B₁F⊥EF．由此能证明平面AB₁F⊥平面AEF．
（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-AE-F的余弦值．

解答： （1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面BB₁C₁C，AF⊥B₁F．…（2分）
设AB=AA₁=1，则B1F=

6

2

，EF=

3

2

，B1E=

3

2

．
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B₁F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF．…（4分）
而B₁F?面AB₁F，故：平面AB₁F⊥平面AEF．…（5分）
（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，
设AB=AA₁=1，
则F（0，0，0），A（

2

2

，0，0），B₁（0，-

2

2

，

1

2

），E（0，-

2

2

，

1

2

），

AE

=(-

2

2

，-

2

2

，

1

2

)，

AB1

=（-

2

2

，

2

2

，1）．…（7分）
由（1）知，B₁F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：

m

=

FB1

=（0，

2

2

，1）．…（9分）
设平面B₁AE的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • AE =- 2 2 x- 2 2 y+ 1 2 z=0 n • AB1 =- 2 2 x+ 2 2 y+z=0

，
取x=3，得

n

=(3，-1，2

2

)．…（11分）
设二面角B₁-AE-F的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 2 2 +2 2

(- 2 2 )2+1 • 32+(-1)2+(2 2 )2

|=

6

6

．
由图可知θ为锐角，
∴所求二面角B₁-AE-F的余弦值为

6

6

．…（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．