Question

【题目】如图，已知，，分别为的中点，，将沿折起，得到四棱锥，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）当正视图方向与向量的方向相同时，的正视图为直角三角形，求此时二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意可知，由三线合一可证明，进而由线面垂直的判定可证明平面；

（2）先证明，然后以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面的一个法向量，为平面的一个法向量，即可由二面角的向量求法求得二面角的余弦值.

（1）由平面图可知，，，，

所以平面，所以.

因为为的中点，，

∴.

因为，

所以平面.

（2）因为的正视图与全等，所以为直角三角形，故.

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系如下图所示，

则，，，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则，

∴，令，∴，

因为为平面的一个法向量，设二面角为，

所以，

因为二面角为钝角，所以，

故二面角的余弦值为.