Question

【题目】平面凸六边形的边长相等,其中为矩形,．将,分别沿,折至,,且均在同侧与平面垂直,连接,如图所示,E,G分别是,的中点．

（1）求证：多面体为直三棱柱；

（2）求二面角平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

(1) 取中点F,连接,,再证明四边形为平行四边形,进而根据平行四边形的性质证得平面平面,同时证得侧棱且互相相等,再证明平面即可.

(2) 过F作交于点D,连接,根据线面垂直的性质可得为二面角的平面角以及二面角的平面角为,进而根据三角形中的边长关系结合勾股定理求解即可.

（1）证明：取中点F,连接,．

∵F为中点,,又面平面,

且面平面,

∴平面．

同理可证平面,,而,故四边形为平行四边形,从而,,

又,,,故且,因此四边形为平面四边形,则,

而平面,平面,故平面；

由题设显然有平面,而,故平面平面,

又四边形,为平行四边形,则,从而四边形为平行四边形,而平面,因此多面体为直三棱柱；

（2）过F作交于点D,连接．

由（1）平面知,而,,因此平面,则 ,

故为二面角的平面角,

而平面,平面,则平面平面,

因此二面角的平面角为,

设,则,,,

从而,

故,

则