Question

15．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F在线段BE上．
（1）求证：平面DBE⊥平面ABE；
（2）若二面角B-DA-F的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）取AB中点G，BE中点H，推导出四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．
（2）以H为原点，HE，HA，HD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BF的长．

解答 证明：（1）取AB中点G，BE中点H，连结CG，DH，GH，
∵△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，
∴CD$\underset{∥}{=}$GH，∴四边形CDHG为平行四边形，
∴CG∥DH，又AE⊥平面ABC，AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．
又△ABC为正三角形，G为AB中点
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，又CG∥DH，
∴DH⊥平面ABE，
又DH?平面DBE，
∴平面DBE⊥平面ABE．
解：（2）∵AE=AB=2，H为BE中点，∴AH⊥BE，
由题意AG=HG=1，$∠AGH=\frac{π}{2}$，∴AH=$\sqrt{2}$，∴BH=EH=$\sqrt{2}$，$∠BAE=\frac{π}{2}$，
以H为原点，HE，HA，HD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，0，$\sqrt{3}$），设F（t，0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DB}$=（-$\sqrt{2}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DF}$=（t，0，-$\sqrt{3}$），
设平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面ADF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{2}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-\sqrt{2}x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{2}b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=ta-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{6}}{t}，\sqrt{3}，\sqrt{2}$），
∵二面角B-DA-F的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=|$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{t}-5}{\sqrt{8}•\sqrt{\frac{6}{{t}^{2}}+5}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
解得t=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，∴$BF=BH+HF=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{5}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
∴BF的长为$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查证明线面平行以及面面垂直的判定定理，要求熟练掌握相应的判定定理，考查学生的推理能力．