Question

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E为线段PA的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AD=2，求点E到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设线段AD的中点为F，连接EF，FB．通过线面平行证明平面EFB∥平面PCD，再证明：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等，利用，等体积方法求点E到平面PCD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：设线段AD的中点为F，
连接EF，FB．
在△PAD中，EF为中位线
故EF∥PD．
又EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
在底面直角梯形ABCD中，FD∥BC，且FD=BC，故四边形DFBC为平行四边形，
即FB∥CD．
又FB?平面PCD，CD?平面PCD，所以FB∥平面PCD．
又因为EF?平面EFB，FB?平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．
又BE?平面EFB，所以有BE∥平面PCD．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等．
连接AC，设点B到平面PCD的距离为h，

因为PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PA⊥AC．
根据题意，在Rt△PAD中，$PD=2\sqrt{2}$
在Rt△ADC中，$AC=2\sqrt{2}$，
在Rt△PAC中，$PC=2\sqrt{3}$，由于PD²+CD²=PC²，
所以△PCD为直角三角形，${S}_{△PCD}=2\sqrt{2}$.${V}_{B-PCD}=\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•h=\frac{2\sqrt{2}}{3}h$．又${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AP=\frac{2}{3}$，所以$h=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即点E到平面PCD的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查点E到平面PCD的距离、三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．