Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（n∈N^*）．
（1）求a₁的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：+++…+＜（n∈N^*）；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1-）（1-）…（1-）cos＜对一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用当n=1时，，求a₁的值，根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）证法一、二：先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
（3）求出数列{b_n}的通项，证明其单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n对一切n∈N^*都成立，分类讨论求最值，即可求出λ的值．
解答：（1）解：由．
当n=1时，，解得a₁=2或a₁=0（舍去）． …2分
当n≥2时，由
∴，
∵a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，则a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，故a_n=2n． …4分
（2）证法一：∵=，…4分
∴当n≥2时，=．…7分
当n=1时，不等式左边=显然成立．…8分
证法二：∵n³-4n（n-1）=n（n²-4n+4）=n（n-2）²≥0，∴n³≥4n（n-1）．
∴（n≥2）．…4分
∴当n≥2时，．…7分
当n=1时，不等式左边=显然成立．…8分
（3）解：由a_n=2n，得，
设，则不等式等价于.=，…9分
∵b_n＞0，∴b_n+1＞b_n，数列{b_n}单调递增．…10分
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n对一切n∈N^*都成立，则
①当n为奇数时，得； …11分
②当n为偶数时，得，即．…12分
综上，，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．…14分
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确放缩，合理运用求和公式是关键．