Question

13．设g（x）是定义在R上且满足g（x+1）=g（x）的函数，若f（x）=2x+g（x）在[0，1]上的值域为[-1，3]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[-1，7]．

Answer 1

分析 把f（x）看成两个函数y=2x和y=g（x）的“和”，因为函数y=2x递增，y=g（x）以1为周期，因此结合周期分别再求出y=f（x）在区间[1，2]和[2，3]的值域，即可得到函数f（x）在[0，3]上的值域．

解答 解：∵g（x+1）=g（x）
∴g（x）是周期为1的函数．
设x∈[1，2]，则x-1∈[0，1]，则f（x）=2x+g（x）=2（x-1）+g（x-1）+2
=f（x-1）+2   ①
∵当x∈[0，1]时，f（x）∈[-1，3]
∴对于①式，f（x-1））∈[-1，3]，
∴f（x）=f（x-1）+2∈[1，5]
同理，当x∈[2，3]时，则x-2∈[0，1]，则f（x）=2x+g（x）=2（x-2）+g（x-2）+4=f（x-2）+4   ②，
∵当x∈[0，1]时，f（x）∈[-1，3]
∴对于②式，f（x-2）∈[-1，3]
∴f（x）=f（x-2）+4∈[3，7]
综上，f（x）在区间[0，3]上的值域为[-1，7]
故答案为：[-1，7]

点评 本题考查函数f（x）的值域与y=2x和y=g（x）的值域之间的关系，不能错误的将两个函数的值域相加得到函数f（x）的值域．