Question

已知函数f（x）=2^x-2^-x，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是递减数列.

Answer 1

（1）a_n=-n（2）证明见解析

（1）解 ∵f（x）=2^x-2^-x，
∴f（log₂a_n）=2-2=-2n，
即a_n-=-2n.∴a+2n·a_n-1=0.
∴a_n=，又a_n＞0，∴a_n=-n.
（2）证明 ∵a_n＞0，且a_n=-n,
∴==＜1.
∴a_n+1＜a_n.即{a_n}为递减数列.