Question

给出下列5个函数：（1）y=2^x；（2）y=log

1

3

x；（3）y=log₂x；（4）y=x²；（5）y=e^x．当0＜x₁＜x₂＜1时，使f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函数序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：因为“当0＜x₁＜x₂＜1时，使f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立”所以f（x）在（0，1）上是“上凸”函数，根据给的五个基本初等函数的图象可以判断．

解答： 解：因为“当0＜x₁＜x₂＜1时，使f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立”，即在（0，1）上，任取两点A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂）），
则线段AB中点的坐标为M（

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

），函数f（x）的图象上与M有相同横坐标的点N（

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

)），
当N点在M点上方时，则f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，此时函数图象“上凸”；
反之，当N点在M点下方时，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，此时函数图象“下凹”；
由题意，此题要求得是“上凸函数”，根据y=2^x，y=log

1

3

x，y=log₂x，y=x²，y=e^x的图象可知y=log₂x的图象在（0，1）上是“上凸”的．
故答案为（3）

点评：这是一个教材改编题，通过考查函数的“凹凸性”，重点考查学生借助于图象来理解、解释函数的性质的能力，培养了学生利用数形结合思想解题的能力．