Question

在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，则下列结论正确的为

 

①2014∈[2]；
②-1∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]；
④命题“整数a，b满足a∈[1]，b∈[2]，则a+b∈[3]”的原命题与逆命题都正确；
⑤“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：依据“类”的定义直接判断，即若整数除以4的余数是k，该整数就属于类[k]．

解答： 解：由类的定义[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，可知，只要整数m=4n+k，n∈Z，k=0，1，2，3，则m∈[k]．
对于①2014=4×503+2，∴2014∈[2]，故①符合题意；
对于②-1=4×（-1）+3，∴-1∈[3]，故②符合题意；
对于③所有的整数按被4除所得的余数分成四类，即余数分别是0，1，2，3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故③符合题意；
对于④原命题成立，但逆命题不成立，∵若a+b∈[3]，不妨取a=0，b=3，则此时a∉[1]且b∉[1]，∴逆命题不成立，∴④不符合题意；
对于⑤∵“整数a，b属于同一类”不妨令a=4m+k，b=4n+k，m，n∈Z，且k=0，1，2，3，则a-b=4（m-n）+0，∴a-b∈[0]；
反之，不妨令a=4m+k₁，b=4n+k₂，则a-b=4（m-n）+（k₁-k₂），若a-b∈[0]，则k₁-k₂=0，即k₁=k₂，所以整数a，b属于同一类．故整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]．故⑤符合题意．
故答案为①②③⑤

点评：这是一个新定义问题，难度不大，关键是正确理解“类”的定义，并且恰当的将已知条件要判断的结论准确表达出来．