Question

12．已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈（0，1]，证明f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{3}{4}$+ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，求出函数的导数，问题转化为2x²-ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x₁）-f（x₂），构造新函数，确定其单调性，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1，f′（x）＜0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）的递增区间为（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞），递减区间为（$\frac{1}{2}$，1）；
（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-ax+1}{x}$=0，即2x²-ax+1=0有两个不相等的实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
∴2（x₁+x₂）=a，x₂=$\frac{1}{{2x}_{1}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=lnx₁+x₁²-ax₁-（lnx₂+x₂²-ax₂）=2lnx₁-x₁²+$\frac{1}{{{4x}_{1}}^{2}}$+ln2（0＜x≤1）．
设F（x）=2lnx-x²+$\frac{1}{{4x}^{2}}$+ln2（0＜x≤1），则F′（x）=-$\frac{{（{2x}^{2}-1）}^{2}}{{2x}^{3}}$＜0，
∴F（x）在（0，1）上单调递减，
∴F（x）≥F（1）=-$\frac{3}{4}$+ln2，即f（x₁）-f（x₂）≥-$\frac{3}{4}$+ln2．

点评 本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想．