Question

20．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（Ⅰ）当m=e时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f'（x）-$\frac{x}{3}$零点的个数；
（Ⅲ）若对任意的b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数，判断函数的单调性，函数的极小值．
（Ⅱ）函数$g（x）=f'（x）-\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}$（x＞0），令g（x）=0，得$m=-\frac{1}{3}{x^2}+x$（x＞0）．设$ϕ（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+x（x≥0）$，求出ϕ'（x），当x∈（0，1）时，当x∈（1，+∞）时，判断函数的单调性，求出最大值，通过①当$m＞\frac{2}{3}$时，②当$m=\frac{2}{3}$时，③当$0＜m＜\frac{2}{3}$时，④当m≤0时，判断函数的零点个数即可．
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜1$恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）．设h（x）=f（x）-x=$lnx+\frac{m}{x}-x（x＞0）$，通过$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，求解m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题设，当m=e时，$f（x）=lnx+\frac{e}{x}$，易得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$．
∴当x∈（0，e）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e）上单调递减；
∴当x∈（e，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增；
所以当x=e时，f（x）取得极小值$f（e）=lne+\frac{e}{e}=2$，所以f（x）的极小值为2．
（Ⅱ）函数$g（x）=f'（x）-\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}$（x＞0），令g（x）=0，得$m=-\frac{1}{3}{x^2}+x$（x＞0）．
设$ϕ（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+x（x≥0）$，则ϕ'（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）．
∴当x∈（0，1）时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）在（0，1）上单调递增；
∴当x∈（1，+∞）时，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）在（1，+∞）上单调递减；
所以ϕ（x）的最大值为$ϕ（1）=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，又ϕ（0）=0，可知：
①当$m＞\frac{2}{3}$时，函数g（x）没有零点；
②当$m=\frac{2}{3}$时，函数g（x）有且仅有1个零点；
③当$0＜m＜\frac{2}{3}$时，函数g（x）有2个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有1个零点．
综上所述：
当$m＞\frac{2}{3}$时，函数g（x）没有零点；
当$m=\frac{2}{3}$或m≤0时，函数g（x）有且仅有1个零点；
当$0＜m＜\frac{2}{3}$时，函数g（x）有2个零点．
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜1$恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）．
设h（x）=f（x）-x=$lnx+\frac{m}{x}-x（x＞0）$，∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=$-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$（x＞0）恒成立，
∴$m≥\frac{1}{4}$（对$m=\frac{1}{4}$，h'（x）=0仅在$x=\frac{1}{2}$时成立）．
∴m的取值范围是$[\frac{1}{4}，+∞）$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的圆柱以及函数的单调性的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用．