Question

5．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上单调性并求出值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数，再求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）利用正弦函数的性质，讨论函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上单调性并求出的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+$$2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+$（sinx-cosx）（sinx+cosx）=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+{sin^2}x-{cos^2}x$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$．
∴函数图象的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$．
（Ⅱ）∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．
$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$上单调递增，在区间$[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$上单调递减，
当$x=\frac{π}{3}$时，f（x）取最大值1．
∵$f（-\frac{π}{12}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜f（\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$．
∴$x=-\frac{π}{12}$，$f{（x）_{max}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以值域为$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．