Question

10．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）；命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8＞0\end{array}\right.$
（1）若a=1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：由x²-4ax+3a²＜0（a＞0）得（x-a）（x-3a）＜0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\{x^2}+2x-8＞0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x＞2或x＜-4}\end{array}\right.$，解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
（1）若a=1，则p：1＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤3}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，