Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [6kπ，6kπ+3]（k∈Z）
• B． [6kπ-3，6kπ]（k∈Z）
• C． [6k，6k+3]（k∈Z）
• D． [6k-3，6k]（k∈Z）

Answer 1

分析 由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数ω、φ的值，进而利用三角函数的单调性求区间．

解答 解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8
知函数的周期为T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{4+8}{2}$-$\frac{2+4}{2}$），得ω=$\frac{π}{3}$，
再由五点法作图可得 $\frac{π}{3}$•$\frac{2+4}{2}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{2}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{2}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，
∴即x∈[6k-3，6k]（k∈Z），
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的单调性的求解，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键，属于中档题．