Question

11．已知一个平行四边形三个顶点为A（0，-9），B（2，6），C（4，5），求第四个顶点的坐标．

Answer 1

分析 设D坐标为（x，y），依题意，可能出现右图三种情形，根据向量相等即可解出．

解答 解：设D坐标为（x，y），依题意，可能出现右图三种情形，
由图（1）有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，
而$\overrightarrow{AB}=（2，15）$，$\overrightarrow{DC}=（4-x，5-y）$，则$\left\{\begin{array}{l}4-x=2\\ 5-y=15\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-10\end{array}\right.$，故D坐标为（2，-10）
由图（2）有$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{AC}=（4，14）$，$\overrightarrow{DB}=（2-x，6-y）$，则$\left\{\begin{array}{l}2-x=4\\ 6-y=14\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-8\end{array}\right.$，故D坐标为（-2，-8）．
由图（3）有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$，
而$\overrightarrow{AB}=（2，15）$，$\overrightarrow{CD}$=（x-4，y-5），则$\left\{\begin{array}{l}{x-4=2}\\{y-5=15}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=20}\end{array}\right.$，故D坐标为（6，20）．
综上所述，D点的坐标为（2，-10）或（-2，-8）或（6，20）．

点评 本题考查了向量共线定理、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．