Question

4．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，G为EF中点．
（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角D-BE-A的正弦值；
（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE∥CF，OG∥AE，由此能证明OG∥平面ABE．
（Ⅱ）分别以OD、OA、OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BE-A的正弦值．
（Ⅲ）设F（0，-1，a），$\overrightarrow{OF}$=（0，-1，a），由OF与平面BDE所成角为45°，利用向量法求出a，由此能求出异面直线OF与DE所成角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，∴AE∥CF，
∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC中点，
又G为EF中点，∴OG∥AE，
∵OG?面ABE，AE?平面ABE，
∴OG∥平面ABE．
解：（Ⅱ）分别以OD、OA、OG为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（$\sqrt{3}$，0，0），E（0，1，2），B（-$\sqrt{3}$，0，0），
A（0，1，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{3}，1，2$），
$\overrightarrow{BA}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，-1），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，3，0$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{6}{\sqrt{5}•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角D-BE-A的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（Ⅲ）设F（0，-1，a），$\overrightarrow{OF}$=（0，-1，a），
∵OF与平面BDE所成角为45°，∴$\frac{|-2-a|}{\sqrt{5}•\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=3，或a=-$\frac{1}{3}$（舍），
∴$\overrightarrow{OF}$=（0，-1，3），cos＜$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{5}{2\sqrt{2}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴异面直线OF与DE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查点到平面的距离、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合，考查创新意识、应用意识，是中档题．