Question

17．在正项数列{a_n}中，a₁=2，点（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$） （n≥2）在直线x-$\sqrt{2}$ y=0上，则数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2．

Answer 1

分析 由点（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$） （n≥2）在直线x-$\sqrt{2}$ y=0上，可得$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{2}$$\sqrt{{a}_{n-1}}$=0，化为：a_n=2a_n-1．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：∵点（$\sqrt{{a}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n-1}}$） （n≥2）在直线x-$\sqrt{2}$ y=0上，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$-$\sqrt{2}$$\sqrt{{a}_{n-1}}$=0，化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为2．
前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．
故答案为：2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、点与直线方程的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．