Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB₁的中点，M为AC上的一点，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
（Ⅰ）证明：CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）若A₁A的长度为$\sqrt{2}$，求三棱锥E-C₁A₁M的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AB₁，交A₁E于点N，连接MN，由E为BB₁的中点，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，得MN∥CB₁，再由线面平行的判定得CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）由题意可得${V}_{E-{C}_{1}{A}_{1}M}={V}_{B-{C}_{1}{A}_{1}M}$，结合棱锥体积公式求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接AB₁，交A₁E于点N，连接MN，
∵E为BB₁的中点，∴$AN=\frac{2}{3}A{B}_{1}$，
又$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，∴MN∥CB₁，
在△ACB₁中，∵MN∥CB₁，MN?面A₁EM，CB₁?面A₁EM，
∴CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）解：由AA₁∥BB₁，得${V}_{E-{C}_{1}{A}_{1}M}={V}_{B-{C}_{1}{A}_{1}M}$，
由AA₁⊥面A₁B₁C₁，得AA₁⊥A₁B₁，
又C₁A₁⊥A₁B₁，AA₁∩C₁A₁=A₁，
∴A₁B₁⊥面AA₁C₁C，
∴${V}_{B-{C}_{1}{A}_{1}M}=\frac{1}{3}•{A}_{1}{B}_{1}•{S}_{△M{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．