Question

2．已知集合R_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a₁，a₂，…，a_n）∈R_n，B=（b₁，b₂，…，b_n）∈R_n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…|a_n-b_n|=$\sum_{i=1}^n{|{{a_i}-{b_i}}|}$．
（Ⅰ）写出R₂中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R₃，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合P⊆R_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为$\overline d（P）$，证明$\overline d（P）≤\frac{mn}{2（m-1）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据集合的定义，写出R₂中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）R₃中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）$\overline d（P）=\frac{1}{C_m^2}\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$，其中$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$表示P中所有两个元素间距离的总和，根据${t_i}（m-{t_i}）≤\frac{m^2}{4}$，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）R₂={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R₂，d（A，B）_max=2．
（Ⅱ）R₃中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素个数最大值为4．
（Ⅲ）$\overline d（P）=\frac{1}{C_m^2}\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$，其中$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}$表示P中所有两个元素间距离的总和．
设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t_i个1，m-t_i个0，则$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}=\sum_{i=1}^n{{t_i}（m-}{t_i}）$
由于${t_i}（m-{t_i}）≤\frac{m^2}{4}$（i=1，2，…，n）
所以$\sum_{A，B∈P}{d（A，B）}=\sum_{i=1}^n{{t_i}（m-}{t_i}）≤\frac{{n{m^2}}}{4}$
从而$\overline d（P）=\frac{1}{C_m^2}\sum_{A，B∈P}{d（A，B）≤\frac{{n{m^2}}}{4C_m^2}=\frac{nm}{2（m-1）}}$

点评 本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．