Question

14．在极坐标系中，射线$l：θ=\frac{π}{6}$与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为：${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy．
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出点A极坐标，即可求点A的直角坐标，求出椭圆的直角坐标方程，即可求椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求出向量的坐标，即可求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）射线$l：θ=\frac{π}{6}$与圆C：ρ=2交于点$A（{2，\frac{π}{6}}）$，
点A的直角坐标$（{\sqrt{3}，1}）$；
椭圆Γ的方程为${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{sin}^2}θ}}$，直角坐标方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）；
（Ⅱ）设$F（{\sqrt{3}cosθ，sinθ}）$，∵E（0，-1），
∴$\overrightarrow{AE}=（{-\sqrt{3}，-2}）$，$\overrightarrow{AF}=（{\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}，sinθ-1}）$，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=-3cosθ+3-2（{sinθ-1}）$
=$\sqrt{13}sin（{θ+α}）+5$，
当sin（θ+α）=1时，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最大值为$\sqrt{13}+5$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查向量知识的运用，属于中档题．