Question

【题目】若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列．

（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；

（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．

①求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）① 当为偶数时，，

当为奇数时，；②

【解析】

试题（Ⅰ）由新定义知：前项之和为两等差数列之和，一个是首项为3，公差为8的等差数列前8项和，另一个是首项为17，公差为8的等差数列前7项和，所以前项之和（Ⅱ）①根据新定义知：证明目标为，

，相减得，当为奇数时，依次构成首项为a，公差为2的等差数列,, 当为偶数时，依次构成首项为2-a，公差为2的等差数列,②先求和：当为偶数时，；当为奇数时，故当时，，，， 由，则，解得．

试题解析：（Ⅰ）易得数列

前项之和

（Ⅱ）①（）（A）

（B）

（B）（A）得（）．

所以，为公差为2的“隔项等差”数列．

当为偶数时，，

当为奇数时，；

②当为偶数时，；

当为奇数时，

．

故当时，，，，

由，则，解得．

所以存在实数，使得成等比数列（）