Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的最小值；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值.

（Ⅱ）当，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，得函数的减区间为，增区间为，求得函数的最小值，没有零点；当时，函数仅有一个零点为；当时，得函数的增区间为，减区间为，求得，由此时函数有两个零点，即可得到答案.

解：（Ⅰ）当时，

，令可得.

故函数的增区间为，减区间为

故当时，函数的最小值为.

（Ⅱ）由

∵，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，

则，，有，故函数的减区间为，增区间为，有

当时，，又函数单调递减，

（1）当时，，此时，函数没有零点；

（2）当时，函数仅有一个零点为；

（3）当时，有，

由，有

令，有，故函数的增区间为，减区间为，

由，可得不等式（当且仅当时取等号）成立

故有当时， ，

则此时函数有两个零点.

由上知时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时函数没有零点.